大纲编号：S070100ZH004
代数基础
Foundations of Algebra
课程编号： 课程属性：其它 学时学分：40/0
预修课程：数学专业大学本科基础课程
教学目的、要求：
本课程是数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识中的代数基础部分，专为数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识而开设，同时也可作为其它专业硕士研究生代数基础补修课程。通过本课程的学习, 希望学生掌握代数中一些理论基础和方法，为通过博士资格考试和进一步从事专业研究打好基础。
主要内容：
第一章 群
群的定义及例子；同态；同态基本定理；群作用；西洛定理；置换群；线性群。
第二章 环
环的定义及例子；同态；同态基本定理；唯一分解整环；对称多项式；除环。
第三章 域
域的定义及例子；有限扩张；正规扩张；分离扩张；有限域。
第四章 模
模的定义及例子；子模；商模；同态基本定理；自由模。
参考文献：
1. 冯克勤，李尚志，查建国，章璞，《近世代数引论》，科大出版社，2009。
2. 聂灵沼，丁石孙，《代数学引论》，高等教育出版社,2000。
大纲编号：S070100ZH005
几何与拓扑基础
Foundations of Geometry and Topology
课程编号： 课程属性：其它 学时学分：40/0
预修课程：数学专业大学本科基础课程
教学目的、要求：
本课程是数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识中的几何与拓扑基础部分，专为数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识而开设，同时也可作为其它专业硕士研究生几何与拓扑基础补修课程。通过本课程的学习, 希望学生掌握几何与拓扑中一些理论基础和方法，为通过博士资格考试和进一步从事专业研究打好基础。
主要内容：
第一章 拓扑空间与连续映射
拓扑空间定义及例子；连续映射与同胚；子空间，乘积空间，商空间。
第二章 可数性，分离性，紧性和连通性
拓扑基和可数性公理；分离公理与Hausdorff空间；列紧和紧致空间，仿紧空间；连通和道路连通，连通分支，连通空间。
第三章 同伦与覆盖映射
同伦与基本群，单连通空间；映射的提升，局部同胚映射与覆盖映射；万有覆盖与覆盖变换。
第四章 曲线的局部理论
平面曲线；中的曲线，Frenet标架；曲线论基本定理。
第五章 曲面的局部理论
曲面的概念；曲面的第一基本型；曲面的第二基本型；法曲率与Weingarten变换；主曲率与Gauss曲率；曲面的一些例子。
第六章 标架与曲面论基本定理
活动标架；自然标架的运动方程；曲面的结构方程；曲面的存在唯一性定理；正交活动标架；曲面的结构方程（外微分法）。
第七章 曲面的内蕴几何学
曲面的等距变换；曲面的协变微分；测地曲率与测地线；测地坐标系；Gauss-Bonnet公式。
参考文献：
1. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，1997。
2. 熊金城，《点集拓扑讲义》，高等教育出版社，2011。
3. 彭家贵，陈卿，《微分几何》，高等教育出版社，2002。
大纲编号：S070100ZH006
高等分析基础
Foundations of Advanced Analysis
课程编号： 课程属性：其它 学时学分：40/0
预修课程：数学专业大学本科基础课程
教学目的、要求：
本课程是数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识中的分析基础部分，专为数学学科各个专业博士资格考试公共基础知识而开设，同时也可作为其它专业硕士研究生分析基础补修课程。通过本课程的学习, 希望学生掌握分析中一些理论基础和方法，为通过博士资格考试和进一步从事专业研究打好基础。
主要内容：
第一章 集和直线上的点集
集合与集合的基本运算，映射与势，直线上的点集。
第二章 测度
集类，测度与外测度，Lebesgue测度。
第三章 可测函数
可测函数及其基本性质，可测函数的结构，可测函数列的收敛性。
第四章 Lebesgue积分
Lebesgue积分及其性质，积分的极限定理，重积分与累次积分。
第五章 复数基本概念
复数的代数运算及其几何性质, 复值函数, 函数沿曲线的积分， 解析函数定义，幂级数与收敛半径。
第六章 解析函数--分析观点
微分的观点：Cauchy-Riemann方程， 调和函数；积分的观点：Cauchy定理和Cauchy积分公式， Morera定理；二者链接：微积分基本定理；应用：Cauchy不等式与Liouville定理，代数学基本定理，解析函数的极限，Schwarz反射原理，Runge逼近定理， Montel定理， 解析映射的迭代与Schwarz引理。
*解析函数--Riemann的拓扑观点：代数函数的解析延拓，黎曼曲面，椭圆积分。
第七章 解析函数--代数观点：
解析函数的幂级数展开，开映射定理，极大模原理与Schwarz引理，唯一性定理， Weistrass乘积与Blaschke条件；解析函数元， 解析开拓与单值性定理，多值函数与黎曼面简介。
第八章 解析函数--代数观点（续）：
解析函数的Laurent展开， 解析函数奇点分类，Picard（大，小）定理简介， 零点与极点计数-幅角原理， Rouche定理， 留数定理与一些奇异积分的计算。
第九章 解析函数--几何观点：
共形映射与区域的解析等价，保角映射，自同构群，圆盘与上半平面的共形映射，Schwarz引理与圆盘/上半平面的自同构群，调和函数的Poisson积分公式，Riemann映照定理与边界对应，多边形到圆盘的共形映射，Schwarz-Christoffel定理，椭圆函数简介；多连通区域分类简介。
第十章 赋范空间与Banach 空间
范数；有界线性算子；线性泛函；Hahn-Banach定理。
第十一章 内积空间与Hilbert 空间
内积；正交性；Riesz 表示定理；Bessel 不等式；Parseval 公式。
第十二章 赋范空间与Banach 空间上的线性算子
共鸣定理；开映射定理；闭图像定理。
参考文献：
1. 夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌，《实变函数论与泛函分析》，高等教育出版社，1979。
2. 周民强，《实变函数论》, 北京大学出版社，2001。
3. W. Rudin, “Real and complex analysis”, 3rd edition, McGraw-Hill Compnaies, Inc., 1974。
4. E.M. Stein and R. Shakarchi, “Complex analysis”, Princeton Univ. Press, 2003。
5. L.V. Ahlfors, “Complex analysis”, 3rd edition, McGraw-Hill Compnaies, Inc., 1979。
6. W. Rudin, “Real and complex analysis”, 3rd edition, McGraw-Hill Compnaies, Inc., 1974。
7. 张恭庆，郭懋正，《泛函分析讲义》，北京大学出版社，北京，1990。
8. 夏道行等，《泛函分析第二教程》，高等教育出版社，北京，2009。
