硕转博资格考试大纲（几何拓扑）

  • 张丹
  • 创建时间: 2019-03-20

    硕转博资格考试大纲（几何拓扑）

 

一、考试内容：

（一）拓扑大纲

  1. 链复形与链映射; 拓扑空间的奇异同调; Steenrod-Eilenberg同调公理; 胞腔复形及同调

  2. 上链复形与上同调; Cap 积与Cup积; 泛系数定理; Künneth公式

  3. 流形的同调性质(Poincare 对偶定理)

  4. 向量丛及其构造; Thom同构定理及应用; 流形中的相交理论

  5. 示性类及其应用

  6. 子流形，正则值与横截性，Sard定理，单位分解

  7. 映射度与环绕数及其应用

  8. 向量场的指标，Poincare-Hopf定理及其应用

（二）几何大纲

  1. 微分流形；切空间；切映射;

  2. 向量场, 可积性定理；流形的嵌入与浸入

  3. 张量代数；外微分形式

  4. 外微分形式的积分；Stokes定理及其应用

  5. 流形上的仿射联络；挠率张量和曲率张量；黎曼度量；黎曼联络；黎曼曲率；常曲率空间；黎曼几何基本定理

  6. 测地线；指数映射；法坐标；弧长第一,二变分公式；完备性; Jacobi场；共轭点；

    指标引理

  7. 子流形基本方程；活动标架；常曲率空间的子流形

二、教材：

  1. W. S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology (GTM 127); Springer-Verlag, 2007.

  2. Marvin J. Greenberg , John R. Harper, Algebraic Topology: A First Course (Mathematics Lecture Note Series), The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1981.

  3. Milnor J.,《从微分观点看拓扑》, 熊金城译，上海科技出版社，1983.

  4. Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983.

  5. 白正国，沈一兵等，《黎曼几何初步（修订版）》，高等教育出版社，北京，2004.

三、参考文献：

  1. Milnor J., Stasheff J., Characteristic classes; Princeton Univ. Press, 1974.

  2. 陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983.

  3. W. Boothby, An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, 人民邮电出版社，第2版，2007.

四、建议预修课程：

数学分析、线性代数、点集拓扑，抽象代数

五、命题方式：

全部试题分为必做题和选做题两部分。必做题6题，每题20分，其中代数拓扑(I)2题，微分流形2题，微分几何2题；选做题4题，每题15分，从4题中任选2题，其中微分拓扑2题，代数拓扑(II)2题。