计算数学
课程名称: 多尺度分析
英文名称: Multiscale Analysis
课程编号: S070102ZY004 开课编号: 213007Y 开课学期: 春季
课程类型: 专业课学  时: 40学  分: 2.0
授课教师:  
教师简介:
 
预修课程:
微积分、泛函分析、偏微分方程与概率论初步、偏微分方程数值解
教学目的:
本课程为计算数学和应用数学专业博士、硕士研究生的专业课,同时也可作为物理、力学、化学和材料科学等专业研究生的选修课。本课程的主要内容包括:1. 椭圆型与发展型方程的均匀化方法与多尺度分析;2. 随机偏微分方程的渐近性质和非线性变分问题的Γ-收敛理论;3. Liouville 方程与 Boltzmann 方程的渐近性质。 通过本课程的学习,希望学生掌握多尺度分析的基本内容和重要技巧,对多尺度分析的发展现状有初步了解,为今后从事相关领域的研究打下基础。
教学内容:
第一章 Sobolev 空间与偏微分方程的弱解理论 广义导数;Sobolev 空间;嵌入定理;延拓定理;弱解的存在唯一性;正则性定理;Lax-Milgram 引理;Poincare-Fredrichs 不等式。 第二章 线性椭圆型方程(组)边值问题的均匀化方法与多尺度分析 均匀化方法;多尺度渐近展开式;Tartar 补偿列紧引理;cell 问题;边界层方程。 第三章 线性发展型方程(组)初边值问题的多尺度渐近分析 时空多尺度;均匀化方程(组);周期解;边界层方程;Gronwall 不等式;收敛性定理。 第四章 均匀化理论中的谱问题 抽象算子的谱性质;一维 Sturm-Liouville 方程的多尺度展开式;Helmholtz 方程多尺度展开式;退化的 Helmholtz 方程的谱性质。 第五章 含小参数平稳随机场的多尺度分析 含随机系数椭圆算子的均匀化;随机孔洞区域上均匀化;均匀化和渗流。 第六章 非线性变分问题的Γ-收敛理论 抽象Γ-收敛的基本性质;两个重要引理;均匀化定理;紧定理。 第七章 Liouville 方程与 Boltzmann 方程关系 Liouville 与Boltzmann 方程;流体力学方程组;Hilbert 定理;Chapman-Enskog 定理。
教  材:
A.Bensoussan, J. L. Lions and G. Papanicolaou, Asymptotic Analysis for Periodic Structures, North-Holland, Amsterdam, 1978.
参考资料:
V.V.Jikov, S.M.Kozlov, O.A.Oleinik, Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals, Springer-Verlag, Berlin, 1994.