计算数学
课程名称: 有限元方法的数学基础
英文名称: The Mathematical Foundation of Finite Element Methods
课程编号: S070102ZJ003 开课编号: 212014Y 开课学期: 春季
课程类型: 专业基础课学  时: 40学  分: 2.0
授课教师:  
教师简介:
 
预修课程:
偏微分方程基础、微分方程的计算方法、数值代数(或矩阵论)、泛函分析
教学目的:
本课程是计算数学和应用数学硕士专业基础课。对于有限元方法这一重要工具,提供比较完整的数学基础, 同时介绍一些有限元的前沿研究成果。本课程中凡是超出大学课程的数学内容,将给出较为详细的论述。如关于Sobolev空间理论及非线性泛函分析方面的内容,将给出详细的结论,但一般不给出全面的证明,只是对较简单的特殊情形,给出较为初等的证明,以加强学生的理解。 本课程要求学生能掌握有限元方法的基本思想和方法,为今后学习和科研工作打下坚实基础。
教学内容:
第一章:变分原理和Sobolev空间 可微二次凸泛函的极小化;不可微凸泛函的极小化; Sobolev空间;嵌入定理;迹定理。 第二章:椭圆型边值问题 二阶椭圆型边值问题;线弹性边值问题;四阶椭圆型边值问题。 第三章:有限元离散 基本特性;三角形单元;矩形单元;四阶问题的协调有限单元。 第四章:协调有限元方法 收敛性的一般考虑;Sobolev空间中的分片多项式插值;多边形区域上的二阶问题的有限元误差分析;有限元空间中的反不等式。 第五章:非协调有限元法 抽象误差估计;二阶问题的非协调元;四阶问题的非协调元。 第六章:混合有限元法 混合变分形式;抽象理论;二阶问题的混合有限元方法;Stokes问题的混合有限元方法。 第七章:自适应有限元法 残量型后验误差估计子;可靠性和有效性;算法的收敛性。 第八章:多水平方法与区域分解法 多重网格法的基本思想;多重网格法的收敛性;分层基方法;区域分解法简介;重叠型区域分解法;DN交替法。
教  材:
王烈衡,许学军,《有限元方法的数学基础》,科学出版社,北京, 2004。
参考资料:
1. P.G. Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems, North-Holland, 1978. 2. S.C. Brenner and C.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer-Verlag, 1994. 3. D. Braess, Finite Elements, Cambridge University Press, 2001. 4. J.H. Bramble, Multigrid Methods, Pitman, 1993.